En
Mathématiques, l'
indicatrice d'Euler est une fonction de la
Théorie des nombres.
Elle est utilisée pour les Mathématiques pures, à la fois en théorie des groupes, en théorie algébrique des nombres et en théorie analytique des nombres.
En mathématiques appliquées, à travers l'arithmétique modulaire, elle joue un rôle important en théorie de l'information et plus particulièrement en Cryptologie.
La fonction indicatrice est aussi appelée fonction phi d'Euler ou simplement la fonction phi, car la lettre φ est communément utilisée pour elle.
Elle est nommée en l'honneur du Mathématicien Suisse Leonhard Euler (1707 - 1783) qui fut le premier à l'étudier.
Définition et calcul explicite
Définition et exemple
- L'indicatrice d'Euler φ est la fonction de l'ensemble des entiers strictement positifs dans lui même, qui à n associe le nombre d'entiers positifs inférieurs à n et premiers avec n.
Par exemple, φ(8) = 4 car les quatre nombres 1, 3, 5 et 7 sont premiers avec 8.
Premières propriétés
Articles détaillés : . Dans ce paragraphe,
n désigne un entier strictement positif.
- La valeur φ(n) est égale au nombre d'éléments primitifs d'un groupe cyclique d'ordre n.
Un élément primitif désigne un membre du groupe engendrant le groupe entier. Cette propriété est démontrée dans le paragraphe
Théorème fondamental de l'article
Groupe cyclique.
Le groupe des unités désigne l'ensemble des éléments inversibles pour la multiplication de l'anneau. Cette propriété est démontrée dans le paragraphe
Groupe des unités de l'article
Anneau Z/nZ.
- Si u et v sont deux entiers strictement positifs et premiers entre eux, alors φ(u.v)=φ(u).φ(v).
Une telle fonction est dite multiplicative. Cette propriété est une conséquence du théorème des restes chinois. En effet, soit
G (respectivement
Gu et
Gv )un groupe d'ordre
u.
v (respectivement
u et
v). Le théorème chinois montre que
G est isomorphe à
Gux
Gv. Un élément du groupe produit est générateur si et seulement si sa première composante est génératrice du premier groupe et sa deuxième composante est génératrice du deuxième groupe. Le nombre de d'éléments générateurs du groupe produit est donc égal à φ(
u).φ(
v). L'isomorphisme montre que cette valeur est égale au nombre d'éléments générateurs du groupe
G, ce qui démontre la formule recherchée.
Calcul
La valeur de l'indicatrice d'Euler s'obtient par l'expression de
n donnée par le théorème fondamental de l'arithmétique :
Si n = | q Π i = 1 | p i k i alors ϕ (n) = | q Π i = 1 | (p i -1) p i k i - 1 = n | Π i | ( | 1- | 1 ––– p i | ) |
Dans la formule, pi désigne un Nombre premier et ki un entier strictement positif.
En effet, le caractère multiplicatif de l'indicatrice d'Euler et une récurrence montre que :
ϕ(n) = | q Π i = 1 | ϕ(p i k i ) |
Il suffit alors de dénombrer le nombre d'entiers non premiers avec une puissance d'un nombre premier et plus petit que celui-ci pour remarquer que :
∀ i ∈ ϕ(p i k i ) = p i k i - p i k i - 1 = (p i -1).p i k i - 1 Ce qui permet de conclure la démonstration.
Autres propriétés
Arithmétique modulaire
L'indicatrice d'Euler est une fonction essentielle de l'arithmétique modulaire, elle est à la base de résultats fondamentaux, à la fois en mathématiques pures et appliquées.
Cette propriété est une conséquence directe du calcul explicite de l'indicatrice.
La Cryptologie utilise largement cette fonction. Le code RSA se fonde sur le Théorème d'Euler, indiquant que si n est un entier strictement positif et a un entier premier avec n, alors a φ(n) ≡ 1 (mod n).
Une autre branche de la théorie de l'information utilise l'indicatrice : la Théorie des codes. Les codes correcteurs, et particulièrement les codes cycliques. Ce type de code se construit à l'aide de polynôme cyclotomique et le degré du polynôme cyclotomique Φn d'indice n à coefficients dans les entiers est égal à φ(n). Plus précisément, on dispose des égalités suivantes :
X n -1 = | Π d ∣ n | Φ d et donc | Σ d ∣ n | ϕ(d) = n |
La somme et le produit sont étendus à tous les diviseurs positifs
d de
n.
La formule d'inversion de Möbius permet dinverser cette somme :
Ici, μ désigne la Fonction de Möbius usuelle définie sur l'ensemble des entiers strictement positifs.
Théorie analytique des nombres
Les deux fonctions génératices présentées ici sont des conséquences directes du fait que :
Une Série de Dirichlet utilisant ϕ(n) est
∞ Σ n = 1 | ϕ(n) ––––– n s | = | ζ(s-1) –––––––– ζ(s) | . |
qui est dérivé depuis :
ζ(s) | ∞ Σ n = 1 | ϕ(n) ––––– n s | = n | ∞ Σ n = 1 | ( | Σ d|n | ϕ(d)) | 1 ––– n s | = n | ∞ Σ n = 1 | n ––– n s | = ζ(s-1), |
ou ζ(s) est la Fonction Zeta de Riemann.
Une Série de Lambert utilisant ϕ(n) est
∞ Σ n = 1 | ϕ(n) q n ––––––––– 1-q n | = | q –––––––– (1-q) 2 |
qui converge pour |q|<1. dérivé de : : ∞ Σ n = 1 | ϕ(n) q n ––––––––– 1-q n | = n | ∞ Σ n = 1 | ϕ(n) | Σ r ≥ 1 | q rn |
avec
n | Σ k ≥ 1 | q k | Σ n|k | ϕ(n) = n | Σ k ≥ 1 | k q k = | q –––––––– (1-q) 2 | . |
Croissance de la fonction
La croissance de
ϕ(n) comme une fonction de
n est une question intéressante. La première impression que l'on a pour les petits
n est que
ϕ(n) doit être notablement plus petit que
n est quelque peu erronée. Asymptotiquement, nous avons
n 1 - ε < ϕ(n) < n
pour n'importe quel ε > 0 et n > N ( ε) . En fait, si nous considérons
nous pouvons écrire, à partir de la formule précédente, sous forme de produit de facteurs
1 - p -1
où les p sont des nombres premiers divisant n. Par conséquent les valeurs de n correspondantes aux valeurs particulièrement petites du rapport sont les n qui sont le produit d'un segment initial de la suite de tous les nombres premiers. À partir du théorème des nombres premiers il peut être montré qu'une constante ε dans la formule précédente peut par conséquent être remplacée par
C frac{ log log {n }} .
Les 99 premières valeurs de la fonction φ
ϕ(n) | +0 | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 |
---|
0+ | | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 |
---|
10+ | 4 | 10 | 4 | 12 | 6 | 8 | 8 | 16 | 6 | 18 |
---|
20+ | 8 | 12 | 10 | 22 | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | 28 |
---|
30+ | 8 | 30 | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | 36 | 18 | 24 |
---|
40+ | 16 | 40 | 12 | 42 | 20 | 24 | 22 | 46 | 16 | 42 |
---|
50+ | 20 | 32 | 24 | 52 | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | 58 |
---|
60+ | 16 | 60 | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | 66 | 32 | 44 |
---|
70+ | 24 | 70 | 24 | 72 | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | 78 |
---|
80+ | 32 | 54 | 40 | 82 | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | 88 |
---|
90+ | 24 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | 96 | 42 | 60 |
---|
Autres formules impliquant la fonction φ d'Euler
ϕ(n m ) = n m - 1 ϕ(n) pour
m ≥ 1 Σ d ∣ n | μ 2 (d) –––––––– ϕ(d) | = | n ––––– ϕ(n) |
Σ 1 ≤ k ≤ n a t o p ( k , n ) = 1 | !!k = | 1 –– 2 | n ϕ(n) |
pour n>1
n Σ k = 1 | ϕ(k) = | 1 –– 2 | ( | 1+ | n Σ k = 1 | μ(k) ⌊ | n –– k | ⌋ 2 | ) |
n Σ k = 1 | ϕ(k) ––––– k | = | n Σ k = 1 | μ(k) ––––– k | ⌊ | n –– k | ⌋ |
n Σ k = 1 | k ––––– ϕ(k) | = O(n) |
n Σ k = 1 | 1 ––––– ϕ(k) | = O( log(n)) |
Inégalités
Certaines
inégalités impliquant la fonction
ϕ sont :
n ϕ(n) > | n –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– e γ log log n + 3/( log log n) | n |
pour n > 2, où γ est la constante d'Euler,
pour n > 0,
et
pour n > 6.
Pour un nombre premier n, clairement ϕ(n) = n-1 . Pour un Nombre composé n, nous avons
(pour un nombre composé n).
Pour tous les n>1 :
Pour un grand n aléatoire, ces bornes ne peuvent pas être encore améliorées, ou être plus précises :
liminf | ϕ(n) ––––– n | = 0 { et } limsup | ϕ(n) ––––– n | = 1. |
Une paire d'inégalités combinant la fonction ϕ et la Fonction diviseur σ sont :
n | 6 n 2 ––––– π 2 | < ϕ(n) σ(n) < n 2 { pour } n>1. n |
Conjectures
- n est premier si et seulement si n ≡ 1 mod ϕ(n)
- ∀ {n > 0}, ∃ {m ≠ n }, ϕ(n) = ϕ(m) (énoncée par Robert Daniel Carmichaël)
Lien externe
Voir aussi